PDE - 波方程 复习笔记

波方程的认识

波方程

(1)utta2Δu=f.

我们记算子

L=t2a2Δ

则波方程可写为

Lu=f.

记单位外法向量为

n=n=ν.

波方程的物理意义

振动的弦、薄膜、弹性体.

波方程的附加条件

初值条件

弹性体各点在初始时刻的位移和速度,即

u(x,0)=φ(x),xΩ,ut(x,0)=ψ(x),xΩ.

这里 φ,ψ 为已知函数.

边值条件

给出弹性体边界点处在 t>0 的状态,如位移或受力,如

已知边界点的位移变化

u(x,t)=g(x,t),xΩ, t0

特别地,若 g(x,t)g(x),表示弹性体边界固定.

已知边界点的受力情况

νu(x,t)=g(x,t),xΩ, t0,

g(x,t)0 时,表示无外力通过边界 Ω 对弹性体作用,此时 Ω 处于自由状态.

已知边界点的位移与所受外力的线性组合

νu+αu=g,xΩ, t0,

这里 u=u(x,t)α=α(x,t)g=g(x,t)g0 时,表示弹性体的边界固定在弹性支撑上.

波方程的对称性

方程 uttΔu=0 在以下变换下不变:

  1. 时间平移:u(x,t)u(x,t+t0),t0R —— 对应于能量守恒;
  2. 空间平移:u(x,t)u(x+x0,t),x0Rn —— 对应于动量守恒;
  3. 伸缩:u(x,t)u(xλ,tλ)λ>0 ——对应于 Virial 恒等式;
  4. Lorentz 变换:u(x,t)u(xxv+xvvt1|v|2,tvx1|v|2)xv=(xv^)v^vRn|v|<1.

波方程复习大纲

  1. 初值问题:总纲