PDE - 波方程复习笔记

波方程的认识

波方程

\begin{matrix} (1) & u_{t t} - a^{2} Δ u = f . \end{matrix}

我们记算子

L = \partial_{t}^{2} - a^{2} Δ

则波方程可写为

L u = f .

记单位外法向量为

\vec{n} = n = ν .

振动的弦、薄膜、弹性体．

弹性体各点在初始时刻的位移和速度，即

\begin{aligned} u (x, 0) & = φ (x), x \in Ω, \\ u_{t} (x, 0) & = ψ (x), x \in Ω . \end{aligned}

这里 $φ, ψ$ 为已知函数．

给出弹性体边界点处在 $t > 0$ 的状态，如位移或受力，如

u (x, t) = g (x, t), x \in \partial Ω, t \geq 0

特别地，若 $g (x, t) \equiv g (x)$ ，表示弹性体边界固定．

\partial_{ν} u (x, t) = g (x, t), x \in \partial Ω, t \geq 0,

当 $g (x, t) \equiv 0$ 时，表示无外力通过边界 $\partial Ω$ 对弹性体作用，此时 $\partial Ω$ 处于自由状态．

\partial_{ν} u + α u = g, x \in \partial Ω, t \geq 0,

这里 $u = u (x, t)$ ， $α = α (x, t)$ ， $g = g (x, t)$ ． $g \equiv 0$ 时，表示弹性体的边界固定在弹性支撑上．

方程 $u_{t t} - Δ u = 0$ 在以下变换下不变：

时间平移： $u (x, t) \mapsto u (x, t + t_{0}), t_{0} \in R$ —— 对应于能量守恒；
空间平移： $u (x, t) \mapsto u (x + x_{0}, t), x_{0} \in R^{n}$ —— 对应于动量守恒；
伸缩： $u (x, t) \mapsto u (\frac{x}{λ}, \frac{t}{λ})$ ， $λ > 0$ ——对应于 Virial 恒等式；
Lorentz 变换： $u (x, t) \mapsto u (x - x_{v} + \frac{x_{v} - v t}{\sqrt{1 - | v |^{2}}}, \frac{t - v x}{\sqrt{1 - | v |^{2}}})$ ， $x_{v} = (x \cdot \hat{v}) \hat{v}$ ， $v \in R^{n}$ ， $| v | < 1$ .